勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边满足关系式a²+b²=c²，则这个三角形为直角三角形。
题目1：如图1，在三角形ABC中，满足AC ²+BC ²=AB ²。求证：∠ACB=90°。
解题思路：在AB上取点D，使∠DCB=∠A=α（图2）。
易证△CBD∽△ABC（母子型相似），
CB²=BD·BA…………①。
已知AC ²+BC ²=AB ²，将①代入：
AC ²+ BD·BA=AB ²，
AC ²+（BA-AD）·BA=AB ²，化简得：
AC ²=AB·AD，即AC/AD=AB/AC,
△ADC∽△ACB，则∠ACD=∠ABC=θ。
在△ABC中，2α+2θ=180°，
α+θ=90°，即∠ACB=90°。
题目2：判断三边长分别为2n²+2n,2n+1, 2n²+2n+1(n＞0)的三角形是否是直角三角形？
解题思路：利用勾股定理的逆定理来判断。
其中两边长的平方和是：
（2n²+2n）²+（2n+1）²=（2n²+2n）²+4n²+4n+1；
第三边的平方为：
（2n²+2n+1）²=（2n²+2n）²+2（2n²+2n）+1
=（2n²+2n）²+4n²+4n+1。
则（2n²+2n）²+（2n+1）²=（2n²+2n+1）²，
故边长为2n²+2n,2n+1, 2n²+2n+1的三角形是直角三角形。
题目3：三角形三边边长a、b、c满足a ²+b ²+c ²+338=10a+24b+26c。证明：△ABC是Rt△。
解题思路：将已知等式变形：
a ²+b ²+c ²+338=10a+24b+26c，
a ²-10a+25+b ²-24b +144+c ²-26c+169=0，
（a-5）²+（b-12）²+（c-13）²=0，
（a-5）²=0，a=5
（b-12）²=0，b=12
（c-13）²=0，c=13，
即△ABC的边长分别为5、12、13，为一组勾股数，故△ABC为直角三角形。
题目4： 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥BC，垂足为D，ED交AB于点E，且BE ²-EA ²=AC ²。证明：∠A=90°。
解题思路：连接EC（图2），已知ED为BC的垂直平分线，故BE=EC。
有知BE ²-EA ²=AC ²，即EC²-EA ²=AC ²，变形为：
EA ²+AC ²= EC²，根据勾股定理的逆定理，
△EAC为Rt△，∠A=90°成立。
题目5：如图1，在正方形ABCD中，F是DC的中点，EC=1/4 BC。求证：EF⊥AF。
解题思路：连接AE（图2），设EC=x，BE=3x，
FC=FD=2x，AB=AD=4x。
在Rt△ABE中，
AE²=AB²+BE²=（4x）²+（3x）²=25x²；
AF²+EF²=AD²+DF²+EC²+FC²
=（4x）²+（2x）²+x²+（2x）²=25x²，
故AF²+EF²= AE²，根据勾股定理的逆定理，
△AFE为Rt△，EF⊥AF成立。
题目6：如图1，四边形ABCD为圆内接四边形，AB与BC的平方和等于CD与AD的平方和，证明AC为圆的直径。
解题思路：欲证AC为圆的直径，证明∠ADC或∠ABC为90°即可。
延长AD、BC交于E点（图2），设AB=x，BC=y，CD=m，AD=n，CE=a，DE=b。
图2
易证△EDC∽△EBA，b/（y+a）=a/（n+b） =m/x。得出下列2式：
bx=m（y+a）=my+ma……①
ax=m(n+b)=mn+mb……②
由①+②：x（a+b）=m(n+y)+m(a+b)
（a+b）(x-m)= m(n+y) ……③
由②-①：x（a-b）=m（n-y）+m（b-a）
（a-b）(x+m)= m（n-y）……④
由③x⑷：（a ²-b ²）(x ²-m ²)=m ²(n ²-y ²)
已知x ²+y ²=m ²+n ²，x ²-m ²= n ²-y ²
所以a ²-b ²=m ²
a ²=m ²+ b ²，△CDE为直角三角形，∠ADC=∠CDE=90°，
故AC为圆的直径。